Question

（2009•攀枝花）如圖所示，已知OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為坐標原點，點A在x軸上，點C在y軸上，且OA=15，OC=9，在邊AB上選取一點D，將△AOD沿OD翻折，使點A落在BC邊上，記為點E．
（1）求DE所在直線的解析式；
（2）設點P在x軸上，以點O、E、P為頂點的三角形是等腰三角形，問這樣的點P有幾個，并求出所有滿足條件的點P的坐標；
（3）在x軸、y軸上是否分別存在點M、N，使四邊形MNED的周長最小？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于OE=OA=15，AD=DE，在Rt△OCE中，由勾股定理求得CE的值，再在Rt△BED中，由勾股定理建立關于DE的方程求解；
（2）分四種情況：在x的正半軸上，OP=OE時；在x的負半軸上，OP=OE時；EO=EP時；OP=EP時，分別可以求得點P對應的點的坐標；
（3）作點D關于x的對稱點D′，點E關于y軸的對稱點E′，連接E′D′，分別交于y軸、x軸于點N、點M，則點M、N是所求得的點，能使四邊形的周長最小，周長且為E′D′+ED．
解答：解：（1）由題意知，OE=OA=15，AD=DE，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE===12，
∴BE=BC-CE=15-12=3
在Rt△BED中，由勾股定理知：AD²=DE²=BE²+BD²，即DE²=（9-DE）²+3²，
解得DE=5，
∴AD=5
∴D（15，5），E（12，9）
設DE直線的解析式為y=kx+b，
∴
解得k=-，b=25
∴DE直線的解析式為y=-x+25；

（2）當在x的正半軸上，OP₁=OE=15時，點P₁與點A重合，則P₁（15，0）；
當在x的負半軸上，OP₂=OE=15時，則P₂（-15，0）；
當OE=EP₃時，作EH⊥OA于點H，有OH=CE=HP₃=12，則P₃（24，0）；
當OP₄=EP₄時，由勾股定理知P₄H²+EH²=P₄E²，即（12-P₄E）²+9²=P₄E²
解得OP₄=EP₄=，即P₄（，0）；
∴滿足△OPE為等腰三角形的點有四個：
P₁（15，0）；P₂（-15，0）；P₃（24，0）；P₄（，0）；

（3）作點D關于x的對稱點D′，點E關于y軸的對稱點E′，連接E′D′，
分別交于y軸、x軸于點N、點M，則點M、N是所求得的點．
在Rt△BE′D′中，D′E′==5
∴四邊形DENM的周長=DE+EN+MN+MD=DE+D′E′=5+5．
點評：本題綜合考查矩形的性質、翻折的性質、勾股定理、待定系數法、軸對稱的性質、等腰三角形．注意第2小題中不要漏了某種情況．