Question

【題目】已知二次函數y＝ax2－6ax＋5a（a為常數）的圖像為拋物線C．

（1）求證：不論a為何值，拋物線C與x軸總有兩個不同的公共點；

（2）設拋物線C交x軸于點A、B，交y軸于點D，若△ABD的面積為20，求a的值；

（3）設點E（2，4）、F（3，4），若拋物線C與線段EF只有一個公共點，結合函數圖像，直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）a＝±2；（3）－≤a≤－1．

【解析】

（1）△=（-6a）2-4a×5a=15a2＞0，即可求解；
（2）△ABD的面積=AB×|yD|=×4×5|a|=20，即可求解；
（3）分a＞0、a＜0兩種情況，通過畫圖找臨界點即可求解．

（1）∵二次函數y＝ax2－6ax＋5a，

∴a≠0，
∴△=（-6a）2-4a×5a=15a2＞0，

∴不論a為何值，拋物線C與x軸總有兩個不同的公共點；

（2）解：∵ 當x＝0時，y＝5a．

∴ D（0，5a），

當y=0，時x=1或5，

∴A、B的坐標為（1，0），（5，0），

由（1）得，AB＝5－1＝4．

∵△ABD的面積為20，

∴×4×|5a|＝20，

解得 a＝±2．

（3）①當a＞0時，如圖1，EF與拋物線不可能有公共點；

②當a＜0時，如圖2，

臨界點為點E、F，
當拋物線過點E時，即x=2，y=ax2-6ax+5a-3a=-3a=4，解得：a=-，

當拋物線過點F時，即x=3，y=ax2-6ax+5a-3a=-4a=4，解得：a=-1，

∴－≤a≤－1．