Question

如圖所示，A、B兩城市相距100km，現計劃在這兩座城市間修建一條高速公路（即線段AB），經測量，森林保護中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保護區的范圍在以P點為圓心，50km為半徑的圓形區域內，請問計劃修建的這條高速公路會不會穿越保護區，為什么？（參考數據：

3

≈1.732，

2

≈1．414）

Answer 1

分析：過點P作PC⊥AB，C是垂足．AC與BC就都可以根據三角函數用PC表示出來．根據AB的長，得到一個關于PC的方程，解出PC的長．從而判斷出這條高速公路會不會穿越保護區．

解答：解：過點P作PC⊥AB，C是垂足．
則∠APC=30°，∠BPC=45°，
AC=PC•tan30°，BC=PC•tan45°．
∵AC+BC=AB，
∴PC•tan30°+PC•tan45°=100km，
∴(

3

3

+1)PC=100，
∴PC=50（3-

3

）≈50×（3-1.732）≈63.4km＞50km．
答：森林保護區的中心與直線AB的距離大于保護區的半徑，所以計劃修筑的這條高速公路不會穿越保護區．

點評：解一般三角形的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．