Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c經過A（-1，0）、B（0，-5）、C（5，0）．
（1）求此拋物線的表達式；
（2）若平行于x軸的直線與此拋物線交于E、F兩點，以線段EF為直徑的圓與x軸相切，求該圓的半徑；
（3）在點B、點C之間的拋物線上有點D，使△BDC的面積最大，求此時點D的坐標及△BDC的面積．

Answer 1

分析：（1）把A、B、C的坐標代入解析式，得到三元一次方程組，求出方程組的解，即可得到答案；
（2）①當直線EF在x軸上方時，設圓的半徑為R（R＞0），根據拋物線的對稱軸得到F的坐標為（R+2，R），代入拋物線的解析式即可求出半徑R；②當直線EF在x軸下方時，設圓的半徑為r（r＞0），則F為（r+2，-r），與①解法類似即可求出此時的半徑r；
（3）過D作y軸的平行線，交BC于點M，設直線BC的表達式是y=kx+b，把B（0，-5）、C（5，0）代入得到方程組，解方程組即可求出直線BC的解析式，設D（x，x²-4x-5），則M（x，x-5），求出DM=-x²+5x，化成頂點式即可求出最大值，即得到△BDC的面積最大值．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經過A（-1，0）、
B（0，-5）、C（5，0），代入得：

a-b+c=0 c=-5 25a+5b+c=0

，
解得

a=1 b=-4 c=-5

，
∴拋物線的表達式為：y=x²-4x-5，
答：此拋物線的表達式是y=x²-4x-5．

（2）如圖：
①當直線EF在x軸上方時，設圓的半徑為R（R＞0），
因為拋物線的對稱軸為直線x=

-1+5

2

=2
∴F為（R+2，R），
代入拋物線的表達式，得：
R=（R+2）²-4（R+2）-5，
解得：R=

1+ 37

2

（R=

1- 37

2

舍去）；
②當直線EF在x軸下方時，設圓的半徑為r（r＞0），
則F為（r+2，-r），
代入拋物線的表達式，得：
-r=（r+2）²-4（r+2）-5，
解得r=

-1+ 37

2

（r=

-1- 37

2

舍去），
所以圓的半徑為

1+ 37

2

或

-1+ 37

2

，
答：該圓的半徑是

1+ 37

2

或

-1+ 37

2

．

（3）如圖，過D作y軸的平行線，交BC于點M，
設直線BC的表達式是y=kx+b，
把B（0，-5）、C（5，0）代入得：

-5=b 0=5k+b

，
解得：

k=1 b=-5

∴直線BC的表達式為：y=x-5，
設D（x，x²-4x-5），則M（x，x-5）
∴DM=（x-5）-（x²-4x-5），
=-x²+5x
=-(x-

5

2

)2+

25

4

當x=

5

2

時，DM有最大值為

25

4

，
即當D（

5

2

，

25

4

）時，△BDC的面積最大=

1

2

×DM×5
=

1

2

×

25

4

×5
=

125

8

，
答：此時點D的坐標是（

5

2

，-

35

4

），△BDC的面積是

125

8

．

點評：本題主要考查了用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，解三元一次方程組、二元一次方程組，二次函數的最值，三角形的面積等知識點，熟練地運用這些知識進行計算是解此題的關鍵，此題是一個綜合性很強的題目，有一定的難度，但題型較好．用的數學思想是分類討論思想．