Question

如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，G為AD上一點，DG=CF．
（1）求證：△CEF∽△BFA； 
（2）求證：BD⊥GE．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是矩形，可得∠ABF=∠C=∠ADC=90°，由折疊的性質可得：∠AFE=∠ADC=90°，然后由等角的余角相等，證得∠BAF=∠CFE，即可判定△CEF∽△BFA；
（2）由△CEF∽△BFA，DG=CF，易證得

DG

DE

=

AB

AD

，即可判定△DBA∽△EGD，繼而可求得∠DGH+∠GDH=90°，則可得BD⊥GE．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABF=∠C=∠ADC=90°，
∴∠BAF+∠BFA=90°，
由折疊的性質可得：∠AFE=∠ADC=90°，
∴∠CFE+∠BFA=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
∴△CEF∽△BFA；

（2）∵DG=CF，DE=EF，
∴cos∠EFC=

FC

EF

=

DG

DE

，
∵cos∠BAF=

AB

AF

=

AB

AD

，∠BAF=∠EFC，
∴

DG

DE

=

AB

AD

，
∴

DG

AB

=

DE

AD

，
∵∠BAD=∠GDE=90°，
∴△DBA∽△EGD，
∴∠DBA=∠EGD，
∵∠DBA+∠ADB=90°，
∴∠DGH+∠GDH=90°，
∴∠GHD=90°，
∴BD⊥GE．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、折疊的性質以及三角函數等知識．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意掌握數形結合思想的應用．