Question

（2005•無錫）如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=2，BC=3，點P是AD邊上的一動點（P異于A、D），Q是BC邊上的任意一點．連AQ、DQ，過P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．
（1）求證：△APE∽△ADQ；
（2）設(shè)AP的長為x，試求△PEF的面積S_△PEF關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)P在何處時，S_△PEF取得最大值，最大值為多少？
（3）當(dāng)Q在何處時，△ADQ的周長最小？（須給出確定Q在何處的過程或方法，不必給出證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)PE∥QD得出的同位角相等即可證得兩三角形相似．
（2）由于PE∥DQ，PF∥AQ，因此四邊形PEQF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：S_△PEF=S_{平行四邊形PEQF}，可先求出△AQD的面積，然后根據(jù)△AEP與△ADQ相似，用相似比的平方即面積比求出△APE的面積，同理可求出△DPF的面積，進而可求出平行四邊形PEQF的面積表達(dá)式，也就能得出關(guān)于S，x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最大值即對于的x的值．
（3）△ADQ中，AD長為定值，因此要使△ADQ的周長最小，AQ+QD需最小，可根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)和兩點間線段最短為依據(jù)來確定Q點的位置．
解答：（1）證明：∵PE∥DQ
∴△APE∽△ADQ；

（2）解：同（1）可證△APE∽△ADQ與△PDF∽△ADQ，及S_△PEF=S_{平行四邊形PEQF}，
根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比得平方，
∴=，=，
∵S_△AQD=AD×AB=×3×2=3，
得S_△PEF=S_{平行四邊形PEQF}
=（S_△AQD-S_△AEP-S_△DFP）
=×[3-×3-×3]
=（-x²+2x）
=-x²+x
=-（x-）²+．
∴當(dāng)x=，即P是AD的中點時，S_△PEF取得最大值．

（3）解：作A關(guān)于直線BC的對稱點A′，連DA′交BC于Q，則這個點Q就是使△ADQ周長最小的點，此時Q是BC的中點．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的求法、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識．