Question

（2012•貴港）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+3的頂點為M（2，-1），交x軸于點A、B兩點，交y軸于點C，其中點B的坐標為（3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設經過點C的直線與該拋物線的另一個點為D，且直線CD和直線CA關于直線CB對稱，求直線CD的解析式；
（3）在該拋物線的對稱軸上存在點P，滿足PM²+PB²+PC²=35，求點P的坐標；并直接寫出此時直線OP與該拋物線交點的個數．

Answer 1

分析：（1）拋物線的解析式中只有兩個待定系數，將已知的兩點坐標代入其中進行求解即可．
（2）由C、B兩點的坐標不難判斷出OB=OC，即∠CBO=45°，那么若取BE⊥x軸交CD于E，結合“直線CD和直線CA關于直線CB對稱”可得出A、E關于直線BC對稱，結合點B的坐標以及AB的長即可得到點E的坐標，在明確C、E兩點坐標的情況下，直線CD的解析式即可由待定系數法求得．
（3）先設出點P的坐標，而M、B、C三點坐標已知，即可得到PM²、PB²、PC²的表達式，結合題干的已知條件即可求出點P的坐標，從而進一步判斷出直線OP與拋物線的交點個數．

解答：解：（1）將M（2，-1）、B（3，0）代入拋物線的解析式中，得：

4a+2b+3=-1 9a+3b+3=0

，
解得

a=1 b=-4

．
故拋物線的解析式：y=x²-4x+3．

（2）由拋物線的解析式知：B（3，0）、C（0，3）；
則△OBC是等腰直角三角形，∠OBC=45°．
過B作BE⊥x軸，交直線CD于E（如右圖），則∠EBC=∠ABC=45°；
由于直線CD和直線CA關于直線CB對稱，所以點A、E關于直線BC對稱，則BE=AB=2；
則E（3，2）．
由于直線CD經過點C（0，3），可設該直線的解析式為 y=kx+3，代入E（3，2）后，得：
3k+3=2，k=-

1

3

故直線CD的解析式：y=-

1

3

x+3．

（3）設P（2，m），已知M（2，-1）、B（3，0）、C（0，3），則：
PM²=（2-2）²+（m+1）²=m²+2m+1，PB²=（3-2）²+（0-m）²=m²+1，PC²=（0-2）²+（3-m）²=m²-6m+13；
已知：PM²+PB²+PC²=35，則：m²+2m+1+m²+1+m²-6m+13=35，化簡得：3m²-4m-20=0
解之得：m₁=-2，m₂=

10

3

；
則P₁（2，-2）、P₂（2，

10

3

）
當點P坐標為（2，

10

3

）時，由圖可知，直線OP與拋物線必有兩個交點；
當點P坐標為（2，-2）時，直線OP：y=-x，聯立拋物線的解析式有：
x²-4x+3=-x，即 x²-3x+3=0
△=（-3）²-4×3＜0，
故該直線與拋物線沒有交點；
綜上，直線OP與拋物線的解析式有兩個交點．

點評：這道二次函數綜合題考查的內容較為常見，主要涉及到：函數解析式的確定、軸對稱圖形的性質、坐標系兩點間的距離公式以及函數圖形交點坐標的求法等知識，著重基礎內容的考查．