Question

【題目】如圖，已知AB=12，P為線段AB上的一個動點，分別以AP、PB為邊在AB的同側作菱形APCD和菱形PBFE，點P、C、E在一條直線上，∠DAP=60°．M、N分別是對角線AC、BE的中點．當點P在線段AB上移動時，點M、N之間的距離最短為______．（結果留根號）

Answer 1

【答案】

【解析】

連接MP，NP，證明MP⊥NP，將M、N的距離轉化為直角三角形的斜邊最短，利用勾股定理結合二次函數即可求解；

解：連接MP，NP，

∵菱形APCD和菱形PBFE，∠DAP=60°，

∴MP=AP，NP=BP，

∵M、N分別是對角線AC、BE的中點，

∴∠MPC=60°，∠EPN=30°，

∴MP⊥NP，

∴MN2=MP2+NP2，

即MN2=（AP）2+（BP）2=[AP2+（12-AP）2]= （AP2-12AP+72）=（AP-6）2+18，

當AP=6時，MN有最小值3，

∴點M、N之間的距離最短為3；

故答案為3；