Question

已知梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AC于E，AD=BC，AC=AB，DF⊥AB于F，AC、DF相交于DF的中點O．
求證：AB+CD=2BE．

Answer 1

【答案】分析：過D作DM∥AC交BA的延長線于M，則四邊形CDMA為平行四邊形，得DM=AC，CD=AM，從而得到DMB為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可以證明AM+AB=2BF；再結合全等三角形的性質即可證明．
解答：證明：過D作DM∥AC交BA的延長線于M．
∵梯形ABCD中，AD=BC，
∴BD=AC．
又∵CD∥AM，DM∥AC，
∴四邊形CDMA為平行四邊形．
∴DM=AC，CD=AM．
∵MD∥AC，又AC⊥BD，且AC=BD，
∴DM⊥BD，DM=BD，
∴△DMB為等腰直角三角形．
又∵DF⊥BM，
∴DF=BF．
∴BM=2DF=2BF
∴AM+AB=2BF．
∵CD=AM，
∴AB+CD=2BF．
∵AC=BD=AB，
∴在△BEA和△BFD中，△BEA≌△BFD．
∴BE=BF．
∵AB+CD=2BF，
∴AB+CD=2BE．
點評：此題綜合運用了等腰梯形的性質、全等三角形的判定及性質、平行四邊形的判定及性質以及直角三角形的性質．