Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，P是CD邊上的一點，AP與BP分別平分∠DAB和∠CBA．
（1）判斷△APB是什么三角形，證明你的結論；
（2）比較DP與PC的大小；
（3）畫出以AB為直徑的⊙O，交AD于點E，連接BE與AP交于點F，若tan∠BPC=

4

3

，求tan∠AFE的值．

Answer 1

分析：（1）可通過角的度數來判斷三角形APB的形狀．由于ABCD是平行四邊形，AD∥BC，那么同旁內角∠DAB和∠CBA的和應該是180°，AP，BE平分∠DAB，∠ABP，于是∠PAB和∠ABP的和就應該是90°，即∠APB=90°，因此可得出三角形APB的形狀．
（2）可通過平行和角平分線，通過等角對等邊得出DP=AP，同理可證出PC=BC，根據平行四邊形的性質，AD=BC，可得出DP=PC．
（3）由AB為圓的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角得到∠AEB=∠APB=90°，又AP為角平分線，根據角平分線定義得到一對角相等，根據兩對角相等的兩三角形相似，得到三角形AEF與三角形APB相似，進而得到對應角相等，又平行四邊形的對邊AB與DC平行，得到一對內錯角相等，等量代換得到∠AFE與∠BPC相等，即可求出所求∠AFE的正切值．

解答：解：（1）△APB是直角三角形，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°；
又∵AP與BP分別平分∠DAB和∠CBA
∴∠PAB=

1

2

∠DAB，∠PBA=

1

2

∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA=

1

2

（∠ABC+∠DAB）
=

1

2

×180°=90°，
∴△APB是直角三角形；

（2）∵DC∥AB，
∴∠BAP=∠DPA．
∵∠DAP=∠PAB，
∴∠DAP=∠DPA，
∴DA=DP
同理證得CP=CB．
∴DP=PC．

（3）∵AB是⊙O直徑，
∴∠AEB=∠APB=90°．
∵AP為角平分線，即∠EAF=∠PAB，
∴△AEF∽△APB，
∴∠AFE=∠ABP，
又ABCD為平行四邊形，∴DC∥AB，
∴∠ABP=∠BPC，
∵tan∠BPC=

4

3

，
∴tan∠AFE=

4

3

．

點評：本題主要考查了平行四邊形的性質，圓周角定理，相似三角形的判定等知識點．在平行四邊形中，當出現角平分線時，一般可構造等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質解題．充分利用平行四邊形的性質是解題的關鍵．