Question

如圖，正方形ABCD的邊長為3，將正方形ABCD繞點A順時針旋轉角度α（0°＜α＜90°），得到正方形AEFG，FE交線段DC于點Q，FE的延長線交線段BC于點P，連結AP、AQ．

（1）求證：△ADQ≌△AEQ；

（2）求證：PQ＝DQ＋PB；

（3）當∠1=∠2時，求PQ的長．（杭十五中模擬）

Answer 1

（1）∵ABCD是正方形，∴在Rt△ADQ和Rt△AEQ中，

有AD＝AE，AQ＝AQ， ∴△ADQ≌△AEQ（HL）

（2）同理可證得△AEP≌△ABP-

∴PB＝PE，由（1）QD＝QE，∴PQ＝QE＋PE＝DQ＋PB-

（3）當∠1=∠2時，Rt△ADQ∽Rt△PCQ，∴∠3＝∠4，又∵∠3＝∠5

∴∠3＝∠4＝∠5，且∠3＋∠4＋∠5＝180°，∴∠3＝60° --------------1分

∴Rt△ADQ中，AD＝3，DQ＝

∴QC＝3—，∴PQ＝2QC＝ 6—2