Question

【題目】如果一個四邊形的對角線把四邊形分成兩個三角形，一個是等邊三角形，另一個是該對角線所對的角為60°的三角形，我們把這條對角線叫做這個四邊形的理想對角線，這個四邊形稱為理想四邊形．

(1)如圖①，在Rt△ABC中∠C=90°，∠B=30°，AC=4，D為AB上一點，AD=2，E為BC中點，連接DE．求證：四邊形ADEC為理想四邊形；

(2)如圖②，△ABC是等邊三角形，若BD為理想對角線，四邊形ABCD為理想四邊形．請畫圖找出符合條件的C點落在怎樣的圖形上；

(3)在(2)的條件下，

①若△BCD為直角三角形，BC=3，求AC的長度；

②如圖③，若CD=x，BC=y，AC=z，請直接寫出x，y，z之間的數量關系．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)①或；②x2+xy+y2=z2 ，理由見解析

【解析】

(1) 連接CD，證明△ACB∽△ADC，推出∠ADC=∠ACB=90°，再證明△CDE是等邊三角形即可；

(2)如圖②中，作等腰三角形ODB，使得OD=OB，∠DOB=120°，以O為圓心，OD為半徑作⊙O，當點C在弧BCD上時，∠DCB=∠DOB=60°，滿足條件；

(3)①分兩種情形：如圖③﹣1中，當∠CDB=90°時，如圖③﹣2中，當∠CBD=90°時，分別利用勾股定理求解即可；

②以CD為邊作等邊△ECD，連接BE，作EF⊥BC交BC的延長線于F．利用全等三角形的性質以及勾股定理可得結論．

(1)證明：如圖1中，連接CD，

∵∠ACB=90°，AC=4，∠B=30°，

∴AB=2AC=8，

∵，，

∴，

∵∠A=∠A，

∴△ACB∽△ADC，

∴∠ADC=∠ACB=90°，

∵EC=EB，

∴DE=EC=EB，

∵∠B=30°，

∴BC=2CD，

∴CD=DE=EC，

∴△CDE是等邊三角形，

∵∠A=60°，

∴四邊形ADEC為理想四邊形；

(2)解：如圖②中，作等腰三角形ODB，使得OD=OB，∠DOB=120°，以O為圓心，OD為半徑作⊙O，當點C在弧BCD上時，∠DCB=∠DOB=60°，滿足條件；

(3)解：①如圖③﹣1中，當∠CDB=90°時，

∵∠CDB=90°，∠BCD=60°，BC=3，

∴BD=BCsin6°=，∠CBD=30°，

∵△ABD是等邊三角形，

∴AB=BD=，∠ABD=60°，

∴∠ABC=90°，

∴，

③﹣2中，當∠CBD=90°時，同法可得AC=，

綜上所述，AC的值為或；

②如圖④中，結論：x2+xy+y2=z2，

理由：以CD為邊作等邊△ECD，連接BE，作EF⊥BC交BC的延長線于F，

∵∠EDC=∠ADB=60°，

∴∠EDB=∠CDA，

∵ED=CD，BD=AD，

∴△EDB≌△CDA(SAS)，

∴AC=BE=z，

∵∠ECD=∠DCB=60°，CD=CE=x，

∴∠ECF=60°，∠CEF=30°，

∴CF=EC=x．EF=CF=x，

在Rt△EFB中，∵BE2=EF2+BF2，

∴z2=(x)2+(y+x)2，

整理得：x2+xy+y2=z2．