Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，直線BD交拋物線于點D，并且，．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點M為拋物線上一動點，且在第三象限，順次連接點B、M、C，求面積的最大值；

（3）在（2）中面積最大的條件下，過點M作直線平行于y軸，在這條直線上是否存在一個以Q點為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓？若存在，求出圓心Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）存在，Q的坐標為或

【解析】

根據題意將、的坐標代入拋物線表達式，即可求解；

由題意設點M的坐標為，則點，，即可求解；

由題意和如圖所示可知，，在中，，，，進行分析計算即可求解．

解：將、的坐標代入拋物線表達式得：，解得：，

則拋物線的解析式為：；

過點M作y軸的平行線，交直線BC于點K，

將點B、C的坐標代入一次函數表達式：得：，解得：，

則直線BC的表達式為：，

設點M的坐標為，則點，

，

，有最大值，

當時，

最大值為4，

點M的坐標為；

如圖所示，存在一個以Q點為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓，切點為N，

過點M作直線平行于y軸，交直線AC于點H，

點M坐標為，設：點Q坐標為，

點A、C的坐標為、，，

軸，

，

，則，

將點A、C的坐標代入一次函數表達式：得：，

則直線AC的表達式為：，

則點，

在中，，，

，

解得：或，

即點Q的坐標為或．