Question

如圖，圓錐底面半徑為1cm，母線長為3cm．底面圓周上有一螞蟻位于A點，它從A點出發沿圓錐面爬行一周后又回到原出發點，請你給它指出一條爬行最短的路徑，并求出最短路徑．

Answer 1

分析：先把圓錐的側面展開，連接AA′，過點O作OD⊥AA′，交AA′于點C，利用利用底面周長=展開圖的弧長可求出圓心角的度數，再根據勾股定理求出弦的長度即可．

解答：解：把圓錐沿過點A的母線展成如圖所示扇形，
連接AA′，過點O作OD⊥AA′，交AA′于點C，
則螞蟻運動的最短路程為AA′（線段）．
∵圓錐底面半徑為1cm，母線長為3cm，
∵OA=OA′=3cm，

ADA′

的長為2π．
∴2π=

nπ•3

180

，
解得n=120°，即∠AOA′=120°，
∵OA=OA′，OD⊥AA′，
∴∠AOD=60°，AA′=2AC，
∴∠OAC=30°，
∴OC=

1

2

OA=

1

2

×3=

3

2

cm，
∴AC=

OA2-OC2

=

32-( 3 2 )2

=

3 3

2

cm，
∴AA′=2AC=3

3

cm，即螞蟻運動的最短路程是3

3

cm．

點評：本題考查的是平面展開-最短路徑問題，先根據題意畫出圓錐的側面展開圖，作出輔助線，再根據勾股定理及垂徑定理求解是解答此題的關鍵．