Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC邊上一點，△PAD的面積為，設AB=x，AD=y
（1）求y與x的函數關系式；
（2）若∠APD=45°，當y=1時，求PB•PC的值；
（3）若∠APD=90°，求y的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖1，過A作AE垂直于BC，在直角三角形ABE中，由∠B=45°，AB=x，利用銳角三角函數定義表示出AE，三角形PAD的面積以AD為底，AE為高，利用三角形面積公式表示出，根據已知的面積即可列出y與x的函數關系式；
（2）根據∠APC=∠APD+∠CPD，以及∠APC為三角形ABP的外角，利用外角性質得到關系式，等量代換得到∠BAP=∠CPD，再由四邊形ABCD為等腰梯形，得到一對底角相等及AB=CD，可得出三角形ABP與三角形PDC相似，由相似得比例，將CD換為AB，由y的值求出x的值，即為AB的值，即可求出PB•PC的值；
（3）取AD的中點F，過P作PH垂直于AD，由直角三角形PF大于等于PH，當PF=PH時，PF最小，此時F與H重合，由三角形APD為直角三角形，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到PF等于AD的一半，表示出PF即為PH，三角形APD面積以AD為底，PH為高，利用三角形面積公式表示出三角形APD面積，由已知的面積求出y的值，即為最小值．
解答：解：（1）如圖1，過A作AE⊥BC于點E，
在Rt△ABE中，∠B=45°，AB=x，
∴AE=AB•sinB=x，
∵S_△APD=AD•AE=，
∴•y•x=，
則y=；

（2）∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP，∠APD=∠B=45°，
∴∠BAP=∠CPD，
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD，
∴=，
∴PB•PC=AB•DC=AB²，
當y=1時，x=，即AB=，
則PB•PC=（）²=2；

（3）如圖2，取AD的中點F，連接PF，
過P作PH⊥AD，可得PF≥PH，
當PF=PH時，PF有最小值，
∵∠APD=90°，
∴PF=AD=y，
∴PH=y，
∵S_△APD=•AD•PH=，
∴•y•y=，即y²=2，
∵y＞0，∴y=，
則y的最小值為．
點評：此題考查了相似形綜合題，涉及的知識有：等腰梯形的性質，相似三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線性質，以及三角形的面積求法，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．