Question

已知：如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，點E、F是AB邊所在直線上的兩點，且∠ECF=135°．
（1）求證：△ECA∽△CFB；
（2）若AE=3，設AB=x，BF=y，求y與x之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰直角三角形性質求出∠CAE=∠CBF=135°，求出∠ECA+∠BCF=45°，∠E+∠ACE=45°，推出∠E=∠BCF，即可推出兩三角形相似；
（2）根據等腰直角三角形性質和銳角三角函數定義求出AC和BC長，根據兩時間相似得出比例式，代入即可求出答案．
解答：（1）證明：∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠CAE=180°-45°=135°，
同理∠CBF=135°，
∴∠CAE=∠CBF，
∵∠ECF=135°，∠ACB=90°，
∴∠ECA+∠BCF=45°，
∵∠ECA+∠E=∠CAB=45°，
∴∠E=∠BCF，
∵∠CAE=∠CBF，
∴△ECA∽△CFB；

（2）解：∵AB=x，∠CAB=45°，∠ACB=90°，AC=BC，
∴sin45°=，
∴CB=x=AC，
∵由（1）知△ECA∽△CFB，
∴=，
∴=，
∴y=x²，
x的取值范圍是x＞0，
即y與x之間的函數關系式是y=x²，x的取值范圍是x＞0．
點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，等腰直角三角形性質，銳角三角函數的定義等知識點，通過做此題培養了學生的分析問題和解決問題的能力．