Question

已知一元二次方程x²+px+q+1=0的一根為2．
（1）求q關于p的函數關系式；
（2）求證：拋物線y=x²+px+q與x軸有兩個交點；
（3）設拋物線y=x²+px+q+1與x軸交于A、B兩點（A、B不重合），且以AB為直徑的圓正好經過該拋物線的頂點，求p，q的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把x=2直接代入一元二次方程x²+px+q+1=0中即可得到q關于p的函數關系式；
（2）利用（1）的結論證明拋物線y=x²+px+q的判別式是正數就可以了；
（3）首先求出方程x²+px+q+1=0的兩根，然后用p表示AB的長度，表示拋物線頂點坐標，再利用以AB為直徑的圓正好經過該拋物線的頂點可以得到關于p的方程，解方程即可求出p．
解答：解：（1）由題意得2²+2p+q+1=0，即q=-2p-5；

證明：（2）∵一元二次方程x²+px+q=0的判別式△=p²-4q，
由（1）得△=p²+4（2p+5）=p²+8p+20=（p+4）²+4＞0，
∴一元二次方程x²+px+q=0有兩個不相等的實根，
∴拋物線y=x²+px+q與x軸有兩個交點；

解：（3）由題意，x²+px-2p-4=0，
解此方程得x₁=2，x₂=-p-2 （p≠-4），
∴AB=p+4（p＞-4）或AB=-P-4（P＜-4），
∵y=x²+px-2p-4的頂點坐標是．
以AB為直徑的圓經過頂點，或．
解得p=-2或p=-6，
∴或．
點評：此題比較難，綜合性比較強，主要利用了拋物線與x軸交點情況與判別式的關系解決問題，也利用了圓的知識來確定待定系數．