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如圖,在Rt△ABC中,斜邊BC=12,∠C=30°,D為BC的中點,△ABD的外接圓⊙O與AC交于F點,過A作⊙O的切線AE交DF的延長線于E點.
(1)求證:AE⊥DE;
(2)計算:AC•AF的值.

【答案】分析:(1)連接OA、OB,證明△ABD為等邊三角形后根據三心合一的定理求出∠OAC=60°,求出四邊形ABDF內接于圓O,利用切線的性質求出AE⊥DE;
(2)由1可得△ABD為等邊三角形,易證△ADF∽△ACD,可得AD2=AC•AF.
解答:(1)證明:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,D為BC的中點,
∴∠ABD=60°,AD=BD=DC.
∴△ABD為等邊三角形.(2分)
∴O點為△ABD的中心(內心,外心,垂心三心合一).
連接OA,OB,∠BAO=∠OAD=30°,
∴∠OAC=60°.(3分)
又∵AE為⊙O的切線,
∴OA⊥AE,∠OAE=90°.
∴∠EAF=30°.
∴AE∥BC.(6分)
又∵四邊形ABDF內接于圓O,
∴∠FDC=∠BAC=90°.
∴∠AEF=∠FDC=90°,即AE⊥DE.(8分)

(2)解:由(1)知,△ABD為等邊三角形,
∴∠ADB=60°.
∴∠ADF=∠C=30°,∠FAD=∠DAC.
∴△ADF∽△ACD,則.(10分)
∴AD2=AC•AF,又AD=BC=6.
∴AC•AF=36.(12分)
點評:本題考查了圓的切線性質,及解直角三角形的知識.運用切線的性質來進行計算或論證,常通過作輔助線連接圓心和切點,利用垂直構造直角三角形解決有關問題.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•莆田質檢)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線AD交BC于點D,點E是AB上一點,以AE為直徑的⊙O過點D,且交AC于點F.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若CD=6,AC=8,求AE.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,AD和BD分別是∠BAC和∠ABC的平分線,它們相交于點D,求點D到BC的距離.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,將三角板中一個30°角的頂點D放在AB邊上移動,使這個30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC、BC相交于點E、F,且使DE始終與AB垂直.
(1)畫出符合條件的圖形.連接EF后,寫出與△ABC一定相似的三角形;
(2)設AD=x,CF=y.求y與x之間函數解析式,并寫出函數的定義域;
(3)如果△CEF與△DEF相似,求AD的長.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,BD⊥AC,sinA=
3
5
,則cos∠CBD的值是(  )

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,D、E分別為邊AB、BC的中點,連接DE,點P從點A出發,沿折線AD-DE-EB運動,到點B停止.點P在AD上以
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cm/s的速度運動,在折線DE-EB上以1cm/s的速度運動.當點P與點A不重合時,過點P作PQ⊥AC于點Q,以PQ為邊作正方形PQMN,使點M落在線段AC上.設點P的運動時間為t(s).
(1)當點P在線段DE上運動時,線段DP的長為
(t-2)
(t-2)
cm,(用含t的代數式表示).
(2)當點N落在AB邊上時,求t的值.
(3)當正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時,設五邊形的面積為S(cm2),求S與t的函數關系式.

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