Question

（2011•西藏）如圖，直線y=kx-3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，且

OB

OC

=

1

2

．
（1）求B點坐標和k值；
（2）若點A（x，y）是直線y=kx-3上在第一象限內的一個動點，當點A在運動過程中，試寫出△AOB的面積S與x的函數關系式；（不要求寫出自變量的取值范圍）
（3）探究：
①當A點運動到什么位置時，△AOB的面積為

9

4

，并說明理由；
②在①成立的情況下，x軸上是否存在一點P，使△AOP是等腰三角形？若存在，請直接寫出滿足條件的所有P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求得直線y=kx-3與y軸的交點，則OC的長度即可求解，進而求得B的坐標，把B的坐標代入解析式即可求得k的值；
（2）根據三角形的面積公式即可求解；
（3）分O，P，A分別是等腰三角形的頂角頂點三種情況進行討論，利用等腰三角形的性質即可求解．

解答：解：（1）在y=kx-3中，令x=0，則y=-3，故C的坐標是（0，-3），OC=3，
∵

OB

OC

=

1

2

，
∴OB=

3

2

，則B的坐標是：（

3

2

，0），
把B的坐標代入y=kx-3，得：

3

2

k-3=0，解得：k=2；

（2）OB=

3

2

，
則S=

1

2

×

3

2

（2x-3）=

3

2

x-

9

4

；

（3）①根據題意得：

3

2

x-

9

4

=

9

4

，解得：x=3，則A的坐標是（3，3）；
②OA=

32+32

=3

2

，
當O是△AOP的頂角頂點時，P的坐標是（-3

2

，0）或（3

2

，0）；
當A是△AOP的頂角頂點時，P與過A的與x軸垂直的直線對稱，則P的坐標是（6，0）；
當P是△AOP的頂角頂點時，P在OA的中垂線上，OA的中點是（

3

2

，

3

2

），
與OA垂直的直線的斜率是：-1，設直線的解析式是：y=-x+b，把（

3

2

，

3

2

）代入得：

3

2

=-

3

2

+b，
解得：b=3，
則直線的解析式是：y=-x+3，令y=0，解得：x=3，則P的坐標是（3，0）．
故P的坐標是：（-3

2

，0）或（3

2

，0）或（6，0）或（3，0）．

點評：本題考查了一次函數與等腰三角形的性質，待定系數法求函數的解析式，正確進行討論是關鍵．