Question

如圖，梯形紙片ABCD中，AD∥BC，∠B=30°．折疊紙片使BC經過點A，點B落在點B′處，EF是折痕，且BE=EF=4，AF∥CD．
（1）求∠BAF的度數；
（2）當梯形的上底AD多長時，線段DF恰為該梯形的高？

Answer 1

【答案】分析：（1）由BE=EF得到∠EFB=∠B，根據折疊的性質得到△B'EF≌△BEF，則∠EFB’=∠EFB=∠B=30°，然后根據三角形內角和定理可計算出∠BAF=90°；
（2）連接DF，在△∠AEF中，∠EAF=90°，∠EFA=30°，EF=4，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到AF=AE=2，由于AD∥BC，AF∥CD，則四邊形AFCD是平行四邊形，所以∠C=∠AFB=60°，CD=AF=2，當DF⊥BC，FC=DC=，易得到AD=FC=．
解答：解：（1）∵BE=EF，
∴∠EFB=∠B，
∵△B'EF≌△BEF，
∴∠EFB’=∠EFB=∠B=30°，
∴∠BAF=180°-30°-30°-30°=90°；
（2）連接DF，
∵在△AEF中，∠EAF=90°，∠EFA=30°，EF=4，
∴AE=EF=2，AF=AE=2，
∵AD∥BC，AF∥CD
∴四邊形AFCD是平行四邊形，
∴∠C=∠AFB=60°，CD=AF=2，
∵DF⊥BC，
∴FC=DC=，
∴AD=FC=，
即梯形的上底AD為時，線段DF恰為該梯形的高．
點評：本題考查了折疊的性質：折疊前后兩圖形全等．也考查了平行四邊形的判定與性質以及含30度的直角三角形三邊的關系．