Question

已知：如圖，正方形ABCD中，AC為對角線，AE=CF．
（1）請問△AED與△CFB全等嗎？請說明理由；
（2）連接EB，FD，那么四邊形BFDE是菱形嗎？請說明理由．

Answer 1

證明：（1）△AED與△CFB全等；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAC=∠BCA=45°；
又∵AE=CF，
∴△AED≌△CFB．（SAS）

（2）四邊形BFDE是菱形；
證明：連接BD，交AC于O；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，且OB=OD，OA=OC；
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF；
∴EF、BD互相垂直平分；
故四邊形BFDE是菱形．
分析：（1）由于四邊形ABCD是正方形，可得出的條件有：AD=BC，∠DAC=∠BCF=45°；又已知AE=CF，根據SAS即可證得兩三角形全等．
（2）連接BD，證BD與EF互相垂直平分即可．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定、正方形的性質以及菱形的判別方法．
菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：
①定義；
②四邊相等；
③對角線互相垂直平分．
具體選擇哪種方法需要根據已知條件來確定．