Question

已知：如圖，正方形紙片ABCD的邊長是4，點M、N分別在兩邊AB和CD上（其中點N不與點C重合），沿直線MN折疊該紙片，點B恰好落在AD邊上點E處．
（1）設AE=x，四邊形AMND的面積為 S，求 S關于x 的函數解析式，并指明該函數的定義域；
（2）當AM為何值時，四邊形AMND的面積最大？最大值是多少？
（3）點M能是AB邊上任意一點嗎？請求出AM的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據點B和E關于MN對稱，得出ME=MB=4-AM，根據勾股定理得出AM²+AE²=ME²=（4-AM）²，求出AM，作MF⊥DN于F，推出∠FMN=∠ABE，根據AAS證Rt△FMN≌Rt△ABE，求出FN=AE=x，DN=2-

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8

x²+x，根據梯形面積公式求出即可；
（2）把S=-

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8

x²+2x+8化成頂點式，即可求出答案；
（3）根據對稱求出BM=ME．根據AM＜EM，即可求出答案．

解答：解：（1）依題意，點B和E關于MN對稱，則ME=MB=4-AM，
由勾股定理得：AM²+AE²=ME²
即AM²+x²=（4-AM）²，
解得AM=2-

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8

x²，
作MF⊥DN于F，則MF=AB，且∠MFN=90°，∠BMF=90°，
∵沿直線MN折疊該紙片，點B恰好落在AD邊上點E處
∴MN⊥BE，
∴∠ABE=90°-∠BMN，
又∵∠FMN=∠BMF-∠BMN=90°-∠BMN，
∴∠FMN=∠ABE，
在△FMN和△ABE中

∠A=∠MFN AB=MF ∠ABE=∠FMN

，
∴Rt△FMN≌Rt△ABE（ASA），
∴FN=AE=x，DN=DF+FN=AM+x=2-

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8

x²+x，
∴S=

1

2

（AM+DN）×AD，
=

1

2

×（2-

1

8

x²+2-

1

8

x²+x）×4，
=-

1

2

x²+2x+8．其中0≤x＜4，

（2）∵S=-

1

2

x²+2x+8=-

1

2

（x-2）²+10，
∴當x=2時，S_最大=10，
此時，AM=2-

1

8

×2²=1.5，
答：當AM=1.5時，四邊形AMND的面積最大，為10．

（3）不能．∵AM＜ME，BM=ME，
AM+BM=4，
∴2AM＜4，
∴AM＜2，
當AM=2時，A和E重合，
∴AM的取值范圍是：0＜AM≤2．

點評：本題綜合考差了二次函數及二次函數的最值，對稱的性質，全等三角形的性質和判定等知識點的應用，關鍵是能用所學性質進行計算，題目綜合性比較強，有一點難度，做此題用了方程思想．