Question

（1）如圖1，在單位長度為1的正方形網格中，一段圓弧經過網格的交點A，B，C．用直尺和圓規畫出該圓弧所在圓的圓心O的位置（不用寫作法，保留作圖痕跡），并依圖直接寫出該圓弧的半徑為

2

5

．
（2）如圖2，點B為AC中點，弦AC=8，BD⊥AC于D，BD=2，過A作該圓弧的切線，交DB的延長線于P，求PA的長．

Answer 1

分析：（1）由垂徑定理的知識，即可求得分別作AB于BC的垂直平分線，交點即為O；然后由勾股定理求得該圓弧的半徑；
（2）首先設圓心為O，連接OA，OD，由勾股定理，即可求得OA與OD的值，易得△PAD∽△AOD，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得PA的長．

解答：解：（1）如圖1，分別作AB于BC的垂直平分線，交點即為O；
連接OA，
OA=

22+42

=2

5

．
故答案為：2

5

；

（2）如圖2，設圓心為O，連接OA，OD，
∵BD⊥AC，點B為AC中點，
∴點B，D，O在同一條直線上，
∴AD=

1

2

AC=4，
設OA=x，則OD=OB-BD=x-2，
∵OA²=OD²+AD²，
∴x²=16+（x-2）²，
解得：x=5，
∴OA=OB=5，OD=3，
∵AD是⊙O的切線，
∴OA⊥PA，
∴∠P+∠O=90°，
∵∠O+∠OAD=90°，
∴∠P=∠OAD，
∵∠ADO=∠PDA=90°，
∴△PAD∽△AOD，
∴

PA

AO

=

AD

OD

，
∴

PA

5

=

4

3

，
∴PA=

20

3

．

點評：此題考查了切線的性質、垂徑定理、相似三角形的判定與性質以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．