Question

已知：如圖，點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、BP為邊向線段AB的同側(cè)作正△APC和正△BPD，AD和BC交于點(diǎn)M.

（1）當(dāng)△APC和△BPD面積之和最小時(shí)，直接寫出AP : PB的值和∠AMC的度數(shù)；

（2）將點(diǎn)P在線段AB上隨意固定，再把△BPD按順時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α，當(dāng)α<60°時(shí)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠AMC的度數(shù)是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.

（3）在第（2）小題給出的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若限定60°<α<120°，∠AMC的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)寫出∠AMC的度數(shù)變化范圍；若不變化，請(qǐng)寫出∠AMC的度數(shù).

Answer 1

⑴ 1，60°                          

      ⑵ 不變化.

      證明：如圖，點(diǎn)E在AP的延長(zhǎng)線上，

∠BPE=α<60°.（只要畫出了符合題意的圖形即可得分）   

       

∵∠BPC=∠CPD+60°,

∠DPA=∠CPD+60°,

∴∠BPC=∠DPA.

在△BPC和△DPA中，

又∵BP=DP，PC=PA，

         ∴△BPC≌△DPA.                  

         ∴∠BCP=∠DAP.                  

        ∴∠AMC=180°-∠MCP-∠PCA-∠MAC

= 120°-∠BCP -∠MAC

=120°-（∠DAP+∠MAC）-∠PCA

=120°-∠PAC

= 60°，且與α的大小無(wú)關(guān).   

      ⑶ 不變化，60°