Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=6cm，點D、E從點C同時出發，分別以1cm/s和2cm/s的速度沿著射線CB向右移動，以DE為一邊在直線BC的上方作等邊△DEF，連接CF，設點D、E運動的時間為t秒．
（1）△DEF的邊長為______（用含有t的代數式表示），當t=______秒時，點F落在AB上；
（2）t為何值時，以點A為圓心，AF為半徑的圓與△CDF的邊所在的直線相切？
（3）設點F關于直線AB的對稱點為G，在△DEF運動過程中，是否存在某一時刻t，使得以A、C、E、G為頂點的四邊形為梯形？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）①∵點D、E從點C同時出發，分別以1cm/s和2cm/s的速度移動，
設點D、E運動的時間為t秒，
∴CD=1t=t，CE=2t，
∴DE=CE-CD=2t-t=t，
∵等邊△DEF，
∴DE=DF=EF=t，即邊長為t，
②當F在AB上時，
∵DE=t，
∴CD=DE=EF=DF=t，
∵等邊△DEF，
∴∠FDE=60°，
∴∠FCD=30°，
∴∠ACF=60°，
∵∠A=60°，∠B=30°，
∴當F在AB，CF=AF=BF，
∵BC=6，
∴AB=4，AC=2，
∴CF=2，
∵∠CEF=60°，
∴CF⊥EF，
∴sin60°==，
∵CE=2t，
∴，
∴t=2，

（2）①當⊙A與DF相切，連接AD，
∵⊙A與DF相切，
∴AB⊥DF，
又∵AC⊥BC，
∴∠ACD=∠AFD=90°，
又∵AD=AD，AC=AF，
∴△ACD≌△AFD（HL），
∴AF=AC，
∴BC與⊙A相切于點C，
∵AC=2，∠FDB=60°，
∴∠ADC=60°，
∵CD=t，
∴tan60°==，
∴t=2
②若⊙A與CF相切，
∴CF⊥AF，
∵AC=2，∠ACF=60°，
∴cos60°==，
∴CF=，
∵∠FCE=30°，∠FEC=60°，
∴EF⊥CF，
∴cos30°==，
∵CE=2t，
∴，
∴t=1，

（3）當t=1.5或t=1時，使得以A、C、E、G為頂點的四邊形為梯形，
①如圖：若GE∥AC時，四邊形ACEG為梯形，
連接FH，
∵AC⊥BC，
∴GE⊥BC，
∵∠B=30°，
∴∠G=30°，
∵F、G兩點關于AB成對稱點，
∴∠GFH=30°，
∵∠FEC=60°，
∴∠FEG=30°，
∴∠GFE=120°，
∴∠HFE=90°，
∵∠CFD=60°，∠DEF=30°，
∴∠CFH=180°，即CF，FH在同一條直線上，
∵∠ACF=∠A=60°，∠FCB=∠B=30°，
∴CH=AH=HB，
∵AB=4，
∴CH=AH=HB=2，
∴HE=，
∵∠FEH=∠B=30°，∠ACB=∠HFE=90°，
∴△ACB∽△HFE，
∴，
∵AB=4，BC=6，
∴HE=，EF=t，
∴t=1.5

②若AG∥CE時，四邊形ACEG為梯形，
連接AF，FG，設與AB交于M點，
∵G，F兩點關于AB對稱，
∴AF=AG，FM=GM，AB⊥FG，
∴△AFM≌△AGM，
∴∠FAM=∠GAM，∠AFM=∠AGM，
∵AG∥BC，
∴∠B=∠GAM=30°，
∴∠FAM=30°，
∴∠AFM=60°，
∵∠FED=60°，∠B=30°，
∴∠FEB=120°，
∵在四邊形MFEB中，∠FMB=90°，
∴∠FEB=120°，
∵∠CFE=90°，∠AFM=60°，
∴∠AFE=180°，
∴A，F，E在同一條直線上，
∵∠AFC=90°，
∴△ACE是直角三角形，
∵∠CEF=60°，
∴tan60°==，即，
∴t=1．
③如備用圖：
，
當t=時，使得以A、C、E、G為頂點的四邊形為梯形．
綜上可得當t=1.5或t=1或時，使得以A、C、E、G為頂點的四邊形為梯形．
分析：（1）①根據運動的時間和速度，即可推出CD，CE的長度，便可推出邊長DE的長度，②根據題意推出CF的長度，然后通過求∠CEF=60°，∠FCD=30°推出直角三角形，最后根據∠CEF的正切值推出t的值，（2）首先根據題意畫出圖形，然后逐個進行討論解答，①當⊙A與DF相切，通過求證△ACD≌△AFD，即可推出此時BC與⊙A相切于點C，然后通過直角三角形中特殊角的函數值，即可推出t的值，②若⊙A與CF相切，根據（1）中已求證的結論，結合直角三角形中特殊角的函數值，即可推出t的取值，（3）分情況進行討論，①若GE∥AC時，四邊形ACEG為梯形，連接FH，通過相關角的度數關系推出CF，FH在同一條直線上，然后通過求證△ACB∽△HFE，推出，即可推出t的值；②若AG∥CE時，四邊形ACEG為梯形，連接AF，FG，根據對稱的性質，即可推出△AFM≌△AGM，即得∠FAM=∠GAM，∠AFM=∠AGM，便可知∠AFE=90°，通過A，F，E在同一條直線上，推出△ACE是Rt△，最后根據直角三角形中特殊角的函數值即可推出t的值．
點評：本題主要考查切線的性質、全等三角形的判定和性質、解直角三角形、等邊三角形的性質，關鍵在于正確地作輔助線，認真地計算，熟練運用相關的定理和性質．