Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．
（1）如圖1，四邊形DEFG為△ABC的內接正方形，求正方形的邊長；
（2）如圖2，三角形內并排兩個相等的正方形，它們組成的矩形內接于△ABC．求正方形的邊長．

Answer 1

分析：（1）根據題意畫出圖形，作CN⊥AB，再根據GF∥AB，可知△CGF∽△CAB，由相似三角形的性質即可求出正方形的邊長；
（2）作CN⊥AB，交GF于點M，交AB于點N，同（1）可知，△CGF∽△CAB，根據對應邊的比等于相似比可求出正方形的邊長．

解答：解：（1）在圖1中，作CN⊥AB，交GF于點M，交AB于點N．
在Rt△ABC中，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴

1

2

AB•CN=

1

2

BC•AC，
CN=

12

5

，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴

CM

CN

=

GF

AB

，
設正方形邊長為x，
則

12 5 -x

12 5

=

x

5

，
∴x=

60

37

；

（2）在圖2中，作CN⊥AB，交GF于點M，交AB于點N．
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴

CM

CN

=

GF

AB

，
設每個正方形邊長為x，則

12 5 -x

12 5

=

2x

5

，
∴x=

60

49

．

點評：本題考查的是相似三角形及正方形的性質．