Question

為了激發學生學習英語的興趣，某中學舉行了校園英文歌曲大賽，并設立了一、二、三等獎。學校計劃根據設獎情況共買50件獎品，其中購買二等獎獎品件數比一等獎獎品件數的2倍件數還少10件，購買三等獎獎品所花錢數不超過二等獎所花錢數的1.5倍，且三等獎獎品數不能少于前兩種獎品數之和．其中各種獎品的單價如下表所示，如果計劃一等獎獎品買x件，買50件獎品的總費用是w元．

(1)用含有x的代數式表示：該校團委購買二等獎獎品多少件，三等獎獎品多少件？并表示w與x的函數關系式；
(2)請問共有哪幾種方案？
(3)請你計算一下，學校應如何購買這三種獎品，才能使所支出的總費用最少，最少是多少元？

Answer 1

（1）購買二等獎為（2x-10）件；購買三等獎為（60-3x）件，w=17x+200；（2）20種方案；（3）當購買一等獎10件，二等獎10件，三等獎30件時所花的費用最少，最少為370元．

試題分析：（1）設一等獎獎品買x件，則二等獎獎品件數比一等獎獎品件數的2倍還少10件為（2x-10），進一步表示出三等獎；分別算出三種獎品的費用相加即是總費用；
（2）再根據題意列出不等式組即可求解；
（3）一次函數的系數k=17，故根據函數的性質可知w隨x的增大而增大．根據題（1）可求最小值．
（1）購買二等獎為（2x-10）件；購買三等獎為（60-3x）件．
w=12x+10（2x-10）+5[50-x-（2x-10）]=17x+200；
（2）由題意可得：
，
解得：10≤x＜20，
∵x為整數，
∴共有20種方案；
（3）∵k=17＞0，
∴w隨著x的增大而增大，
∴當x=10時，w有最小值，最小值為w=17×10+200=370（元）．
答：當購買一等獎10件，二等獎10件，三等獎30件時所花的費用最少，最少為370元．