Question

（2011•沙洋縣模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點于D，DE⊥AC．
（1）求證：△BAD∽△CED；
（2）求證：DE是⊙O的切線；
（3）若AE=1，AB=4，求AD的長．并計算出∠B的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知及相似三角形的判定方法分析即可；
（2）連接OD，證OD⊥DE即可．
（3）可通過相似三角形ADE和ABD得出關于AE，AD，AB的比例關系求出AD的長，再在直角三角形ABD中用正弦函數求出∠B的度數．
解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∵BD=CD，
∴∠B=∠C．
∵∠CED=∠ADB=90°，
∴△BDA∽△CED．

（2）連接OD，
∵OA=OB，BD=CD，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切線．

（3）證明：∵∠AED=∠ADB=90°，BD=CD，AD⊥BC，
∴∠DAE=∠DAB．
∴△EAD∽△DAB．
∴．
∴DA²=AB•EA．
∴DA²=1×4．
∴AD=2．
在Rt△ADB中，∵AD=2，AB=4，
∴∠B=30°．
點評：本題主要考查了切線的判定，弦切角定理，相似三角形的判定和性質等知識點，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．（3）中通過相似三角形得出線段間的比例關系進而求出線段的長是解題的關鍵．