Question

23、一玩具廠去年生產某種玩具，成本為10元/件，出廠價為12元/件，年銷售量為2萬件．今年計劃通過適當增加成本來提高產品檔次，以拓展市場．若今年這種玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年這種玩具每件的出廠價比去年出廠價相應提高0.5x倍，則預計今年年銷售量將比去年年銷售量增加x倍（本題中0＜x≤11）．
（1）用含x的代數式表示，今年生產的這種玩具每件的成本為

（10+7x）

元，今年生產的這種玩具每件的出廠價為

（12+6x）

元．
（2）求今年這種玩具的每件利潤y元與x之間的函數關系式．
（3）設今年這種玩具的年銷售利潤為w萬元，求當x為何值時，今年的年銷售利潤最大？最大年銷售利潤是多少萬元？
注：年銷售利潤=（每件玩具的出廠價-每件玩具的成本）×年銷售量．

Answer 1

分析：（1）根據題意今年這種玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，即為（10+10•0.7x）元/件；這種玩具每件的出廠價比去年出廠價相應提高0.5x倍，即為（12+12•0.5x）元/件；
（2）今年這種玩具的每件利潤y等于每件的出廠價減去每件的成本價，即y=（12+6x）-（10+7x），然后整理即可；
（3）今年的年銷售量為（2+2x）萬件，再根據年銷售利潤=（每件玩具的出廠價-每件玩具的成本）×年銷售量，得到w=-2（1+x）（x-2），然后把它配成頂點式，利用二次函數的最值問題即可得到答案．

解答：解（1）10+7x；12+6x；

（2）y=（12+6x）-（10+7x），
∴y=2-x  （0＜x＜2）；

（3）∵w=2（1+x）•y
=-2（1+x）（x-2）
=-2x²+2x+4，
∴w=-2（x-0.5）²+4.5
∵-2＜0，0＜x≤11，
∴w有最大值，
∴當x=0.5時，w_最大=4.5（萬元）．
答：當x為0.5時，今年的年銷售利潤最大，最大年銷售利潤是4.5萬元．

點評：本題考查了二次函數的頂點式：y=a（x-k）²+h，（a≠0），當a＜0，拋物線的開口向下，函數有最大值，當x=k，函數的最大值為h．也考查了代數式的表示和利潤的含義以及配方法．