Question

如圖，⊙O的直徑AB長為10，弦AC的長為6，∠ACB的角平分線交⊙O于D，則CD長為    ．

Answer 1

【答案】分析：作DF⊥CA，交CA的延長線于點F，作DG⊥CB于點G，連接DA，DB．由CD平分∠ACB，根據角平分線的性質得出DF=DG，由HL證明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，從而求出CD的長．
解答：解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延長線上，作DG⊥CB于點G，連接DA，DB．
∴∠AFD=∠BGD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴DF=DG，=，
∴DA=DB．
在Rt△AFD和Rt△BGD中，
∵
∴Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），
∴AF=BG．
在Rt△CDF和Rt△CDG中，
∵，
∴Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），
∴CF=CG．
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，AC=6，
∴由勾股定理得：BC=8，
設AF=BG=x，
∵BC=8，AC=6，
∴8-x=6+x，
解得：x=1，
∴AF=1，
∴CF=7，
∵∠ACB的角平分線，
∴∠FCD=45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=7．
故答案為：7．
點評：本題綜合考查了圓周角的定理，圓心角、弧、弦的對等關系，全等三角形的判定與性質，角平分線的性質．此題難度較大，注意準確作出輔助線是解此題的關鍵，注意數形結合與方程思想的應用．