Question

【題目】問題提出

（1）如圖1，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝60°，AC＝6，求△ABC的外接圓半徑R的值；

問題探究

（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝45°，AC＝8，點D為邊BC上的動點，連接AD以AD為直徑作⊙O交邊AB、AC分別于點E、F，接E、F，求EF的最小值；

問題解決

（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，AB＝AD，BC+CD＝12，連接AC，線段AC的長是否存在最小值，若存在，求最小值：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）△ABC的外接圓的R為6；（2）EF的最小值為12；（3）存在，AC的最小值為9．

【解析】

（1）如圖1中，作△ABC的外接圓，連接OA，OC．證明∠AOC=90°即可解決問題；

（2）如圖2中，作AH⊥BC于H．當直徑AD的值一定時，EF的值也確定，根據垂線段最短可知當AD與AH重合時，AD的值最短，此時EF的值也最短；

（3）如圖3中，將△ADC繞點A順時針旋轉90°得到△ABE，連接EC，作EH⊥CB交CB的延長線于H，設BE=CD=x．證明EC=AC，構建二次函數求出EC的最小值即可解決問題．

解：（1）如圖1中，作△ABC的外接圓，連接OA，OC．

∵∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣75°﹣60°＝45°，

又∵∠AOC＝2∠B，

∴∠AOC＝90°，

∴AC＝6，

∴OA＝OC＝6，

∴△ABC的外接圓的R為6．

（2）如圖2中，作AH⊥BC于H．

∵AC＝8，∠C＝45°，

∴AH＝ACsin45°＝8×＝8，

∵∠BAC＝60°，

∴當直徑AD的值一定時，EF的值也確定，

根據垂線段最短可知當AD與AH重合時，AD的值最短，此時EF的值也最短，

如圖2﹣1中，當AD⊥BC時，作OH⊥EF于H，連接OE，OF．

∵∠EOF＝2∠BAC＝120°，OE＝OF，OH⊥EF，

∴EH＝HF，∠OEF＝∠OFE＝30°，

∴EH＝OFcos30°＝4＝6，

∴EF＝2EH＝12，

∴EF的最小值為12．

（3）如圖3中，將△ADC繞點A順時針旋轉90°得到△ABE，連接EC，作EH⊥CB交CB的延長線于H，設BE＝CD＝x．

∵∠AE＝AC，∠CAE＝90°，

∴EC＝AC，∠AEC＝∠ACE＝45°，

∴EC的值最小時，AC的值最小，

∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝∠ACB+∠AEB＝30°，

∴∠∠BEC+∠BCE＝60°，

∴∠EBC＝120°，

∴∠EBH＝60°，

∴∠BEH＝30°，

∴BH＝x，EH＝x，

∵CD+BC＝12，CD＝x，

∴BC＝12﹣x

∴EC2＝EH2+CH2＝（x）2+＝x2﹣12x+432，

∵a＝1＞0，

∴當x＝﹣＝6時，EC的長最小，

此時EC＝18，

∴AC＝EC＝9，

∴AC的最小值為9．