Question

如圖1，平面之間坐標系中，等腰直角三角形的直角邊BC在x軸正半軸上滑動，點C的坐標為（t，0），直角邊AC=4，經過O，C兩點做拋物線y₁=ax（x-t）（a為常數，a＞0），該拋物線與斜邊AB交于點E，直線OA：y₂=kx（k為常數，k＞0）

（1）填空：用含t的代數式表示點A的坐標及k的值：A______，k=______；
（2）隨著三角板的滑動，當a=時：
①請你驗證：拋物線y₁=ax（x-t）的頂點在函數y=的圖象上；
②當三角板滑至點E為AB的中點時，求t的值；
（3）直線OA與拋物線的另一個交點為點D，當t≤x≤t+4，|y₂-y₁|的值隨x的增大而減小，當x≥t+4時，|y₂-y₁|的值隨x的增大而增大，求a與t的關系式及t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意易得點A的橫坐標與點C的相同，點A的縱坐標即是線段AC的長度；把點A的坐標代入直線OA的解析式來求k的值；
（2）①求得拋物線y₁的頂點坐標，然后把該坐標代入函數y=，若該點滿足函數解析式y=，即表示該頂點在函數y=圖象上；反之，該頂點不在函數y=圖象上；
②如圖1，過點E作EK⊥x軸于點K．則EK是△ACB的中位線，所以根據三角形中位線定理易求點E的坐標，把點E的坐標代入拋物線y₁=x（x-t）即可求得t=2；
（3）如圖2，根據拋物線與直線相交可以求得點D橫坐標是+4．則t+4=+4，由此可以求得a與t的關系式．
解答：解：（1）∵點C的坐標為（t，0），直角邊AC=4，
∴點A的坐標是（t，4）．
又∵直線OA：y₂=kx（k為常數，k＞0），
∴4=kt，則k=（k＞0）．

（2）①當a=時，y₁=x（x-t），其頂點坐標為（，-）．
對于y=來說，當x=時，y=×=-，即點（，-）在拋物線y=上．
故當a=時，拋物線y₁=ax（x-t）的頂點在函數y=的圖象上；

②如圖1，過點E作EK⊥x軸于點K．
∵AC⊥x軸，
∴AC∥EK．
∵點E是線段AB的中點，
∴K為BC的中點，
∴EK是△ACB的中位線，
∴EK=AC=2，CK=BC=2，
∴E（t+2，2）．
∵點E在拋物線y₁=x（x-t）上，
∴（t+2）（t+2-t）=2，
解得t=2．

（3）如圖2，，則x=ax（x-t），
解得x=+4，或x=0（不合題意，舍去）．．
故點D的橫坐標是+t．
當x=+t時，|y₂-y₁|=0，由題意得t+4=+t，
解得a=（t＞0）．
點評：本題考查了坐標與圖形的性質、二次函數圖象上點的坐標特征、一次函數與二次函數交點坐標等知識點．解題時，注意“數形結合”數學思想的應用．