Question

（2010•柳州）如圖，AB為⊙O的直徑，且弦CD⊥AB于E，過點B的切線與AD的延長線交于點F．
（1）若M是AD的中點，連接ME并延長ME交BC于N．求證：MN⊥BC．
（2）若cos∠C=，DF=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC．欲求MN⊥BC，只需證MN∥AC即可．由于直徑AB⊥CD，由垂徑定理知E是CD中點，而M是AD的中點，故EM是△ACD的中位線，可得ME（即MN）∥AC，由此得證．
（2）由于∠A、∠C所對的弧相同，因此cosA=cosC，由此可得BF、AF、AB的比例關系，用未知數表示出它們的長．
連接BD，證△BDF∽△ABF，根據所得比例線段即可求得未知數的值（也可利用切割線定理求解），從而得到直徑AB的長，也就能求出⊙O的半徑．
解答：（1）證明：
（方法一）連接AC．
∵AB是⊙O的直徑，且AB⊥CD于E，
由垂徑定理得，點E是CD的中點；
又∵M是AD的中點，
∴ME是△DAC的中位線，
∴MN∥AC．
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．
∴∠MNB=90°，即MN⊥BC；
（方法二）∵AB⊥CD，∴∠AED=∠BEC=90°．
M是AD的中點，
∴ME=AM，即有∠MEA=∠A．
∵∠MEA=∠BEN，∠C=∠A，
∴∠C=∠BEN．
又∵∠C+∠CBE=90°，
∴∠CBE+∠BEN=90°，
∴∠BNE=90°，即MN⊥BC；
（方法三）∵AB⊥CD，∴∠AED=90°．
由于M是AD的中點，
∴ME=MD，即有∠MED=∠EDM．
又∵∠CBE與∠EDA同對，∴∠CBE=∠EDA．
∵∠MED=∠NEC，
∴∠NEC=∠CBE．
∵∠C+∠CBE=90°，
∴∠NEC+∠C=90°，
即有∠CNE=90°，即MN⊥BC．

（2）解：連接BD．
∵∠BCD與∠BAF同對，∴∠C=∠A，
∴cos∠A=cos∠C=．
∵BF是⊙O的切線，∴∠ABF=90°．
在Rt△ABF中，cos∠A==，
設AB=4x，則AF=5x，由勾股定理得：BF=3x．
∵AB是⊙O的直徑，∴BD⊥AD，
∴△ABF∽△BDF，
∴，
即，
x=．
∴直徑AB=4x=4×，
則⊙O的半徑為．
點評：此題主要考查了垂徑定理、圓周角定理、三角形中位線定理以及相似三角形的判定和性質等知識，難度適中．