Question

【題目】已知在平面直角坐標系中，點，以線段為直徑作圓，圓心為，直線交于點，連接.

（1）求證：直線是的切線；

（2）點為軸上任意一動點，連接交于點，連接：

①當時，求所有點的坐標 （直接寫出）；

②求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，；② 的最大值為.

【解析】

（1）連接，證明∠EDO=90°即可；

（2）①分“位于上”和“位于的延長線上”結(jié)合相似三角形進行求解即可；

②作于點，證明，得，從而得解.

（1）證明：連接，則：

∵為直徑

∴

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴

即：

∵軸

∴

∴

∴直線為的切線.

（2）①如圖1，當位于上時：

∵

∴

∴設(shè)，則

∴

∴，解得：

∴

即

如圖2，當位于的延長線上時：

∵

∴設(shè)，則

∴

∴

解得：

∴

即

②如圖，作于點，

∵是直徑

∴

∴

∴

∵半徑

∴

∴的最大值為.