Question

有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別為3cm，4cm．現在要將綠地擴充成等腰三角形，且擴充部分是以4cm為直角邊的直角三角形，請畫出圖形并直接寫出擴充后等腰三角形綠地的周長．（友情提醒：不寫畫法，作圖工具不限）

Answer 1

分析：由于擴充所得的等腰三角形腰和底不確定，若設擴充所得的三角形是△ABD，則應分為①BC=CD，②AC=CD，③AD=BD，④AB=BD，4種情況進行討論．

解答：解：如圖所示：
（1）圖1：當BC=CD=3cm時；
由于AC⊥BD，則AB=AD=5cm；
此時等腰三角形綠地的周長=5+5+3+3=16（cm）；

（2）圖2：當AC=CD=4cm時；
∵AC⊥CB，
∴AB=BD=5cm，
此時等腰三角形綠地的周長=5+5+4+4=18（cm）；

（3）圖3：當AD=BD時，設AD=BD=xcm；
Rt△ACD中，BD=xcm，CD=（x-3）cm；
由勾股定理，得AD²=DC²+CA²，即（x-3）²+4²=x²，解得x=

25

6

；
此時等腰三角形綠地的周長=

25

6

×2+5=

40

3

（cm）．

（4）如圖4，延長BC到D使BD等于5cm，
此時AB=BD=5cm，
故CD=2cm，
則AD=

42+22

=2

5

（cm），
此時等腰三角形綠地的周長=5+5+2

5

=（10+2

5

）（cm）．

點評：此題主要考查了等腰三角形的性質以及勾股定理的應用，解決問題的關鍵是根據題意正確畫出圖形．