Question

如圖，⊙O₁和⊙O₂外切于點A，BC是⊙O₁和⊙O₂的外公切線，B、C為切點．AT為內公切線，AT與BC相交于點T．延長BA、CA，分別與兩圓交于點E、F．
（1）求證：AB•AC=AE•AF；
（2）若AT=2，⊙O₁與⊙O₂的半徑之比為1：3，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）將所求的乘積式化為比例式，連接BF、CE，通過證比例線段所在的三角形相似即可；
（2）由于BC、TA都是兩圓的切線，由切線長定理知TA=TB=TC，由此可得到∠BAC=90°，即△BAF、△ECA都是Rt△，那么FB、EC必為兩圓的直徑；連接O₁O₂，過O₁作EC的垂線設垂足為M；在Rt△O₁O₂M中，根據O₁O₂及O₂M的長，可求得∠O₁O₂的度數，即可得到O₁O₂的長及兩圓半徑的值；在Rt△AEC中，由圓周角定理易得到∠AEC的度數，進而可通過解直角三角形求得AE的長．

解答：（1）證明：連接BF、CE；
∵TA是兩圓的公切線，
∴∠TAB=∠BFA，∠NAE=∠ACE；
∵∠TAB=∠NAE，
∴∠BFA=∠ACE；
∴BF∥CE；
∴△BAF∽△EAC；
∴

AB

AE

=

AF

AC

，即AB•AC=AE•AF；

（2）解：連接O₁O₂，過O₁作O₁M⊥EC于M；
∵TA、BC都是兩圓的切線，
∴TB=TA=TC，即△BAC是Rt△，且∠BAC=90°；
∴∠BAF=∠CAE=90°；
∴BF、EC分別是兩圓的直徑；
設⊙₁的半徑為R，則⊙O₂的半徑為3R；
Rt△O₁O₂M中，O₁O₂=R+3R=4R，O₂M=3R-R=2R；
∴∠O₁O₂M=60°，O₁O₂=O₁M÷sin60°；
∵O₁M=BC=2TA=4，則O₁O₂=

8 3

3

；
∴O₂A=2

3

；
Rt△EAC中，EC=2O₂A=4

3

，∠E=

1

2

∠O₁O₂M=30°；
∴AE=EC•cos30°=6．

點評：此題主要考查了弦切角定理、切線長定理、直角三角形的判定和性質等知識的綜合應用，能夠發現△EAC、△FAB是直角三角形是解答（2）題的關鍵．