Question

如圖，在直角坐標系中，正方形ABOD的邊長為a，O為原點，點B在x軸的負半軸上，點D在y軸的正半軸上，直線OE的解析式為y=2x，直線CF過x軸上的一點C（-

3

5

a，0）且與OE平行，現正方形以每秒

a

10

的速度勻速沿x軸正方向平行移動，設運動時間為t秒，正方形被夾在直線OE和CF間的部分的面積為S．
（1）當0≤t＜4時，寫出S與t的函數關系式；
（2）當4≤t≤5時，寫出S與t的函數關系式，在這個范圍內S有無最大值？若有，請求出最大值，若沒有請說明理由．

Answer 1

分析：（1）易知BC=

2

5

a，根據時間的取值范圍和正方形的速度可知當0≤t＜4時，B位于C點左側．那么重合部分的多邊形的面積可用平行四邊形的面積-△NPQ的面積來求解．可先求出P、C的坐標，然后根據△PNQ與△PDO相似，用相似比求出面積比，進而得出△PNQ的面積．然后按上面所說的多邊形的面積計算方法得出S，t的函數關系式；
（2）當4≤t≤5時，重合部分可用平行四邊形COPG的面積-△PNQ的面積-△CB1R的面積來求得．方法同（1），得出S，t的函數關系后，可根據函數的性質和自變量的取值范圍求出S的最大值及對應的t的值．

解答：解：（1）當0≤t＜4時，如圖1，由圖可知OM=

a

10

t，
設經過t秒后，正方形移動到A₁B₁MN
∵當t=4時，BB₁=OM=

a

10

×4=

2

5

a
∴點B₁在C點左側
∴夾在兩平行線間的部分是多邊形COQNG，其面積為：
平行四邊形COPG-△NPQ的面積．
∵CO=

3

5

a，OD=a
∴四邊形COPG面積=

3

5

a²
又∵點P的縱坐標為a，代入y=2x得P（

a

2

，a）
∴DP=

a

2

，NP=

a

2

-

a

10

t
由y=2x知：NQ=2NP
∴△NPQ面積=

1

2

•NP•NQ=（

a

2

-

a

10

t）²
∴S=

3

5

a²-（

a

2

-

a

10

t）²=

3

5

a²-

a2

100

（5-t）²=

a2

100

[60-（5-t）²]；

（2）當4≤t≤5時，如圖2，這時正方形移動到A₁B₁MN
∵當4≤t≤5時，

2

5

a≤BB₁≤

1

2

a，點B₁在C、O點之間
∴夾在兩平行線間的部分是B₁OQNGR，
即平行四邊形COPG被切掉了兩個小三角形△NPQ和△CB₁R，其面積為：
平行四邊形COPG的面積-△NPQ的面積-△CB₁R的面積
與（1）同理，OM=

a

10

t，NP=

a

2

-

a

10

t，S_△NPQ=（

a

2

-

a

10

t）²，
∵CO=

3

5

a，CM=

3

5

a+

a

10

t，B₁M=a，
∴CB₁=CM-B₁M=

3

5

a+

a

10

t-a=

a

10

t-

2

5

a，
∴S△CB₁R=

1

2

CB₁•B₁R=（CB₁）²=（

a

10

t-

2

5

a）2，
∴S=

3

5

a²-（

1

2

a-

a

10

t）²-（

a

10

t-

2

5

a）²=

3

5

a²-

a2

100

[2（t-

9

2

）²+

1

2

]，
∴當t=

9

2

時，S有最大值，Smax=

119

200

a²．

點評：本題考查二次函數與相似三角形、平行四邊形、正方形、圖形的面積求法等知識的綜合運用．