Question

如圖，直線l₁，l₂，l₃相交于點A、B、C，得到△ABC，其中∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點O在線段AC上，且OA=2OC，將△ABC繞點O旋轉得到△A₁B₁C₁，當點A₁落在這三條直線上時，線段AA₁長是    ．

Answer 1

【答案】分析：利用勾股定理列式求出AB的長，然后求出OA、OC，再分①點A₁在直線l₁上時，先利用勾股定理列式求出A₁C，再利用勾股定理列式計算即可得解；②點A₁在直線l₂上時，根據AA₁=2OA計算即可得解；③點A₁在直線l₃上時，過點O作OD⊥AB于D，利用相似三角形對應邊成比例列式求出AD，再根據等腰三角形三線合一可得AA₁=2AD，代入數據計算即可得解．
解答：解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB===10，
∵OA=2OC，
∴OA=6×=4，OC=6×=2，
①如圖1，點A₁在直線l₁上時，
在Rt△A₁OC中，A₁C===2，
在Rt△AA₁C中，AA₁===4；

②如圖2，點A₁在直線l₂上時，AA₁=OA+OA₁=2OA=2×4=8；

③如圖3，點A₁在直線l₃上時，過點O作OD⊥AB于D，
∵OA=OA₁，
∴AA₁=2AD，
易得△AOD∽△ABC，
∴=，
即=，
解得AD=2.4，
∴AA₁=2AD=2×2.4=4.8；
綜上所述，線段AA₁長是4.8或8或4．
故答案為：4.8或8或4．
點評：本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，勾股定理的應用，難點在于要分情況討論，作出圖形更形象直觀．