Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，過點C作CD⊥AB于點E，交⊙O于點D，延長AC交DB延長線于點F，BF＝，連接AO、CO．CO與AB相交于點G，∠CGE＝3∠CAB，OC＝10，將圓心O繞著點B旋轉得到點O′，若點O′恰好落△ADF某一邊上時，則OO′的長度為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

延長AO交BD于H，連接OB，OD，根據全等三角形的性質得到AB=AD，推出AH垂直平分BD，根據平行線分線段成比例得到 ，根據勾股定理得到OO′= =4 ，過O作OO′⊥AB于K交AF于O′，根據菱形的性質得到O′B=OB=5，再根據勾股定理即可得到結論．

解：延長AO交BD于H，連接OB，OD，

∵∠ADC＝∠AOC＝（180°﹣∠OAC﹣∠OCA）＝（180°﹣4∠CAB）＝90°﹣2∠CAB，

∴∠DAB＝90°﹣∠ADC＝2∠CAB＝2∠OAB，

∴∠OAD＝∠OAB，∵OA＝OB＝OD，

∴∠OBA＝∠OAB＝∠OAD＝∠ODA，

∴∠AOB＝∠AOD，

在△OAB與△OAD中 ，

∴△OAB≌△OAD，

∴AB＝AD，

∵∠OAB＝∠OAD，

∴AH垂直平分BD，

∵∠OBA＝∠OAB＝∠BAC，

∴OB∥AF，

∴，

令OH＝4a，則BH＝3a，OB＝5a＝10，∴a＝2，

∴BD＝2BH＝12，

當O′在BD上時，O′H＝O′B﹣BH＝4，

∴OO′＝＝4，

過O作OO′⊥AB于K交AF于O′，

則四邊形OAO′B是菱形，

∴O′B＝OB＝5，BK＝AB＝3 ，

∴OK＝ ＝ ，

∴OO′＝2OK＝2．

故答案為：4或2．