Question

（2013•莆田）定義：如圖1，點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，若滿(mǎn)足AC²=BC•AB，則稱(chēng)點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)．
如圖2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．
（1）求證：點(diǎn)D是線(xiàn)段AC的黃金分割點(diǎn)；
（2）求出線(xiàn)段AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）判斷△ABC∽△BDC，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例可得出答案．
（2）根據(jù)黃金比值即可求出AD的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，
∴AD=BD，BC=BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴

BD

AB

=

CD

BC

，即

AD

AC

=

CD

AD

，
∴AD²=AC•CD．
∴點(diǎn)D是線(xiàn)段AC的黃金分割點(diǎn)．

（2）∵點(diǎn)D是線(xiàn)段AC的黃金分割點(diǎn)，
∴AD=

5 -1

2

AC，
∵AC=1，
∴AD=

5 -1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了黃金分割的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，理解黃金分割的定義，注意掌握黃金比值．