Question

（2013•莆田質檢）用長度一定的不銹鋼材料設計成外觀為矩形的框架（如圖1，2中的一種）．

設豎檔AB=x米，請根據以上圖案回答下列問題：（題中的不銹鋼材料總長度均指各圖中所有黑線的長度和，所有橫檔和豎檔分別與AD，AB平行）
（Ⅰ）在圖1中，如果不銹鋼材料總長度為12米，當x為多少時，矩形框架ABCD的面積為3平方米？
（Ⅱ）在圖2中，如果不銹鋼材料總長度為12米，當x為多少時，矩形框架ABCD的面積S最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）先用含x的代數式（12-3x）÷3=4-x表示橫檔AD的長，然后根據矩形的面積公式列方程，求出x的值．
（2）用含x的代數式（12-4x）÷3=4-

4

3

x表示橫檔AD的長，然后根據矩形面積公式得到二次函數，利用二次函數的性質，求出矩形的最大面積以及對應的x的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，BC的長為（4-x）米，
依題意，得x（4-x）=3，即x²-4x+3=0，
解得  x₁=1，x₂=3，
答：當AB的長度為1米或3米時，矩形框架ABCD的面積為3平方米．

（Ⅱ）根據題意，由圖2得，
AD=（12-4x）÷3=4-

4

3

x
∴S=AB•AD=x（4-

4

3

x）=-

4

3

x²+4x，
配方得s=-

4

3

（x-

3

2

）²+3，
∴當x=

3

2

時，S取最大值3，
答：當x=

3

2

時，矩形框架ABCD的面積最大，最大面積是3平方米．

點評：本題考查的是二次函數的應用，（1）根據面積公式列方程，求出x的值．（2）根據面積公式得二次函數，利用二次函數的性質求最值．（3）根據面積公式得到字母系數的二次函數，然后求出函數的最大值．