Question

如圖，在四邊形ABCD中（AB≠BC），AB∥CD，AB=CD，直線EF經(jīng)過四邊形ABCD的對角線AC和BD的交點O，且分別交AD、BC于點M、N，交BA、DC的延長線于點E、F，下列結論：
①BO=OD；②△AOD的周長-△ODC的周長=AD-CD；③AD∥BC；④S_△ABO=

1

2

S_{四邊形ABNM}；⑤圖中全等的三角形的對數(shù)是9對；
其中正確結論的個數(shù)是（　　）

A．5

B．4

C．3

D．2

Answer 1

分析：由AB∥CD，根據(jù)平行線的性質得∠ABD=∠CDB，∠BAC=∠DCA，而AB=CD，根據(jù)三角形全等的判定方法可證得△ABO≌△CDO，根據(jù)全等的性質得OB=OD，于是可判斷①正確；由△ABO≌△CDO得到OA=OC，再利用三角形周長的定義可對②進行判斷；易證得△ADO≌△CBO，則∠DAO=∠BCO，根據(jù)平行線的判定定理可對③進行判斷；易證△AMO≌△CNO，則S_△AMO=S_△CNO，所以S_{四邊形ABNM}=S_△ABC，由于OA=OC，根據(jù)三角形的面積公式可得S_△ABO=

1

2

S_△ABC，則可對④進行判斷；圖中全等的三角形的對數(shù)有
△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△AOM≌△CON，△AOE≌△COF，△MOD≌△NOB，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CAD，△AEM≌△CFN，△BOE≌△DOF，
△BNE≌△DMF，于是可對⑤進行判斷．

解答：解：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，∠BAC=∠DCA，
在△ABO和△CDO中

∠BAO=∠DCO AB=CD ∠ABO=∠CDO

，
∴△ABO≌△CDO，
∴OB=OD，所以①正確；
OA=OC，
∵△AOD的周長=AD+OA+OD，△ODC的周長=DC+OA+OC，
∴△AOD的周長-△ODC的周長=AD-DC，所以②正確；
在△ADO和△CBO中

OA=OC ∠AOD=∠COB OD=OB

，
∴△ADO≌△CBO，
∴∠DAO=∠BCO，
∴AD∥BC，所以③正確；
易證△AMO≌△CNO，
∴S_△AMO=S_△CNO，
∴S_{四邊形ABNM}=S_△ABC，
∵OA=OC，即OA=

1

2

AC，
∴S_△ABO=

1

2

S_△ABC，
∴S_△ABO=

1

2

S_{四邊形ABNM}，所以④正確；
圖中全等的三角形有：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△AOM≌△CON，△AOE≌△COF，△MOD≌△NOB，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CAD，△AEM≌△CFN，△BOE≌△DOF，
△BNE≌△DMF，所以⑤錯誤．
故選B．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：有兩組邊對應相等，且它們所夾的角也相等，那么這兩個三角形全等；有兩組角對應相等，且它們的夾角也相等的兩個三角形全等；全等三角形的對應角相等，對應邊相等．也考查了平行線的判定與性質．