Question

【題目】如圖一，AB為⊙O直徑，PB為⊙O切線，點C在⊙O上，弦AC∥OP．

（1）求證：PC為⊙O的切線．

（2）如圖二，OP交⊙O于D，DA交BC于G，作DE⊥AB于E，交BC于F，若CG＝3，DF＝，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AC＝6．

【解析】

（1）連OC，由AC∥OP，得到∠BOP=∠OAC，∠POC=∠OCA，則∠BOP=∠POC，可得△POB≌△POC，得到∠PBO=∠PCO，而PB為⊙O的切線，得∠OBP=90°，所以∠PCO=90°，根據切線的判定即可得到PC為⊙O的切線；
（2）連BD，由AB為⊙O的直徑，得∠ADB=90°，而DE⊥AB，則∠BDE=∠BAD，所以∠BDE=∠BAD，從而易得到∠DBG=∠BDF，有BF=DF=FG=，BC=8，得到BH=，BC=8．易證Rt△BOH≌Rt△DOE，得DE=BH=8，則EF=DE-DF=8-5=3，在Rt△BEF中，利用勾股定理可求得BE=4，在Rt△DOE中，利用勾股定理即可得到⊙O的半徑于是得到直徑，根據勾股定理得到AC，于是得到結論．

（1）連OC，如圖，

∵AC∥OP，

∴∠BOP＝∠OAC，∠POC＝∠OCA，

∵OA＝OC，即∠OCA＝∠OAC，

∴∠BOP＝∠POC，

在△POB與△POC中，

∴△POB≌△POC（SAS），

∴∠PBO＝∠PCO，

而PB為⊙O的切線，

∴∠OBP＝90°，

∴∠PCO＝90°，

∴PC為⊙O的切線；

（2）連BD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

而DE⊥AB，

∴∠BDE＝∠BAD，

由（1）得∠BOP＝∠COP，

∴∠BAD＝∠DBF，

∴∠DBG＝∠BDF，

∵∠DBG+∠DGF＝90°，∠BDF+∠GDF＝90°，

∴∠FGD＝∠FDG，

∴BF＝DF＝FG＝，

∵∠ADE+∠DAE＝∠AGF+∠CAG＝∠CAG+∠DGF＝90°，

∴∠ADE＝∠DGF，

∴DF＝GF，

∴BC＝++3＝8，

∵OC＝OB，PC＝PB，

∴OP垂直平分線段BC，

∴BH＝BC＝4，

在Rt△BOH與Rt△DOE中，

∴Rt△BOH≌Rt△DOE（ASA），

∴DE＝BH＝4．

∴EF＝DE﹣DF＝，

在Rt△BEF中，BE＝＝2，

設⊙O半徑為r，在Rt△DOE中，r2＝42+（r﹣2）2．

∴r＝5．

∴AB＝10，

∴AC＝＝6．