Question

【題目】如圖，已知平行四邊形中，，，.平行四邊形的頂點在線段上（點在的左邊），頂點分別在線段和上.

（1）求證：；

（2）如圖1，將沿直線折疊得到，當恰好經過點時，求證：四邊形是菱形；

（3）如圖2，若四邊形是矩形，且，求的長.（結果中的分母可保留根式）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質可得，從而得出，再根據平行四邊形的性質可得：，，從而得出，即可得，理由AAS即可證出，從而得出；

（2）根據折疊的性質可得，根據（1）中的結論可得：，再根據等角對等邊可得，從而得出，理由SAS即可證出，從而得出，根據菱形的定義可得四邊形是菱形；

（3）過點作于點，連接交于.設，根據矩形的性質和平行的性質可得，，然后用分別表示出HQ、HN和BH，利用銳角三角函數即可求出x，從而求出的長.

解：（1）如圖，∵四邊形是平行四邊形，

∴.

∴.

∵四邊形是平行四邊形，

∴，.

∴.

∴

在和中

∴.

∴.

（2）如圖，∵與關于對稱，

∴.

由（1）得，

∴.

∴.

由（1）得，

∴.

∴.

由（1）得，

∴.

∵，

在和中

∴.

∴.

∴是菱形.

（3）如圖，過點作于點，連接交于.設，

∵四邊形是矩形，，

∴，，

∴，，.

在中，由，得

，

解得.

∴.