Question

【題目】如圖,△ABC和△DEF都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合。將△DEF繞點E旋轉，旋轉過程中，線段DE與線段AB相交于點P，射線EF與線段AB相交于點G，與射線CA相交于點Q.

(1)求證：△BPE∽△CEQ；

(2)求證：DP平分∠BPQ；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）由△ABC和△DEF是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性質，即可得∠BEP=∠EQC，則可證得△BPE∽△CEQ；

（2）首先證明△BPE∽△EPQ，推出∠BPE=∠EPQ，即可得到∠DPB=∠DPQ，問題得證.

(1)∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形,

∴∠B=∠C=∠DEF=45°，

∵∠BEQ=∠EQC+∠C，

即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，

∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，

∴∠BEP=∠EQC，

∵∠B=∠C=45°，

∴△BPE∽△CEQ，

(2)∵△BPE∽△CEQ，

∴，

∵CE=BE，

∴ ，

∵∠B=∠DEF=45°，

∴△BPE∽△EPQ，

∴∠BPE=∠EPQ，

∴∠DPB=∠DPQ，

∴DP平分∠BPQ.