Question

已知矩形的對角線長為

10

，而它的兩鄰邊a、b的長滿足m²+a²m-12a=0，m²+b²m-12b=0（m≠0），則矩形的周長為

 

．

Answer 1

分析：根據m²+a²m-12a=0，m²+b²m-12b=0（m≠0），可以得到：a、b恰為方程mx²-12x+m²=0的兩根，則可以求得a與b的和與積．已知對角線長為

10

，即可知道a、b的平方和，即可得到一個關于m的方程，從而求解．

解答：解：將已知二式重新整理得

ma2-12a+m2=0 mb2-12b+m2=0

，
由方程的定義可知a，由韋達定理得
a+b=

12

m

…①
ab=m…②
又a²+b²=10，即（a+b）²-2ab=10…③．
將①②代入③得(

12

m

)2-2m=10?m³+5m²-72=0?（m-3）（m²+8m+24）=0?m=3，
故矩形的周長為2（a+b）=

24

m

=8．

點評：本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，正確理解a、b恰為方程mx²-12x+m²=0的兩根是解題的關鍵．