Question

已知C是以AB為直徑的⊙O上一點，過點C作⊙O的切線交直線AB于點D，則當△ACD為等腰三角形時，∠ACD的度數為    ．

Answer 1

【答案】分析：如圖，連接OC，BC．
點C的位置有兩種情況，
①為左圖時，AC=CD；
②右上圖．AD=AC．
根據切線的性質和三角形內角和定理分別求解．
解答：解：如圖，連接OC，BC．
AB是直徑，則有∠ACB=90°；CD是切線，C是切點，有∠OCD=90°；則點C的位置有兩種情況：
①為左圖時，AC=CD，OC=OA，
∴∠D=∠A=∠ACO，∠COD=2∠A=2∠D．
∵∠COD+∠D=2∠D+∠D=90°，
∴∠ACO=∠D=30°，∠ACD=∠OCD+∠ACO=120°．
②右上圖．∵AD=AC，
∴∠D=∠DCA；
由弦切角定理知，∠DCA=∠B；
∴∠D+∠B+∠DCA+∠ACB=3∠DCA+90°=180°，
∴∠ACD=30°．
∴∠ACD的度數為120°或30°．
點評：本題利用了切線的性質，直徑對的圓周角是直角，等邊對等角，三角形內角和定理求解．