Question

如圖，已知C是以AB為直徑的半圓上的一點，AB=10，CD⊥AB于D點，以AD、DB為直徑畫兩個半圓，EF是這兩個半圓的外公切線，E、F為切點．
（1）求證：CD=EF；
（2）求證：四邊形EDFC是矩形；
（3）若DB=|m|，則m是使關于x的方程x²+2（m-1）x+m²+3=0的兩個實根的平方和為22的實數值，求矩形EDFC的面積．

Answer 1

（1）證明：取AD的中點O₁，BD的中點O₂，連接O₁E，O₂F，并過O₂作O₂H⊥O₁E，交O₁E于H．
∵EF是兩圓的公切線，
∴O₁E⊥EF，O₂F⊥EF，
又∵O₂H⊥O₁E，
∴四邊形EHO₂F是矩形
∴EF=O₂H
在Rt△O₁O₂H中，O₂H²=（AD+BD）²-（AD-BD）²=AD•BD
∵CD⊥AB
∴CD2=AD•BD
∴CD=O₂H=EF．

（2）證明：先設CD和EF交于點G，
∵EF，CD都是兩圓的切線，
∴GD=GE=GF．
∴△EDF是直角三角形．
∴∠EDF=90°．
又∵DE=ED，∠FED=∠CDE，CD=FE，
∴△EDF≌△DEC．
∴∠DEC=90°．
同理∠DFC=90°．
∴四邊形EDFC是矩形．

（3）解：設x₁，x₂是方程的兩個實數根，
根據題意得，
還能得到，x₁²+x₂²=22，三個式子聯合，
解得，m₁=-2，m₂=6
根據圖形可知，0＜DB＜5
DB=|-2|=2，
AD=8．
∵四邊形EDFC是矩形，
∴C、F、B在同一直線上，同樣C、E、A也在同一直線上．
∴DF∥AC．
∴．
由（1）知，CD²=AD•BD=16，
∴CD=4．
在Rt△CDB中，BC==2，
∴DE=×BC=．
同理可得，DF=．
∴S_矩形EDFC=CF•DF=×=．
分析：（1）利用垂徑定理和兩圓外公切線的性質，作輔助線，就可以得到兩條線段的相等關系．
（2）關鍵是先判斷△EDF是直角三角形，再利用三角形的全等，可得出另外兩個90°的角，因此得證．
（3）先利用根與系數的關系，可求出DB，從而求出AD，再利用勾股定理求出AC，BC的值，再通過平行線分線段成比例性質可求出DF，DE．那么矩形面積就可求了．
點評：本題利用了外切兩圓的公切線的性質，以及矩形的判定和性質，還有直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，根與系數的關系，勾股定理，平行線分線段成比例性質以及矩形面積公式等知識．