Question

割圓術是我國古代數學家劉徽創造的一種求周長和面積的方法：隨著圓內接正多邊形邊數的增加，它的周長和面積越來越接近圓周長和圓面積，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”．劉徽就是大膽地應用了以直代曲、無限趨近的思想方法求出了圓周率．請你也用這個方法求出二次函數的圖象與兩坐標軸所圍成的圖形最接近的面積是（ ）
A．5
B．
C．4
D．17-4π

Answer 1

【答案】分析：設該二次函數與坐標軸的交點分別為A、B，連接AB，可作直線l∥AB，當直線l與該拋物線只有一個交點時，可設直線l與坐標軸的交點為C、D，求出△OCD的面積即為拋物線圖象與兩坐標軸所圍成的圖形最接近的面積．
解答：解：如圖，設拋物線與坐標軸的交點為A、B，則有：
A（4，0），B（0，4）；
作直線l∥AB，易求得直線AB：y=-x+4，
所以設直線l：y=-x+h，當直線l與拋物線只有一個交點（相切）時，有：
-x+h=（x-4）²，
整理得：x²-x+4-h=0，
△=1-4×（4-h）=0，即h=3；
所以直線l：y=-x+3；
設直線l與坐標軸的交點為C、D，則C（3，0）、D（0，3），
因拋物線的圖象與兩坐標軸所圍成的圖形面積大于S_△OCD小于S_△OAB
S_△OCD=×3×3=4.5． S_△OAB=×4×4=8，
故拋物線的圖象與兩坐標軸所圍成的圖形面積在4.5＜S＜8的范圍內，選項中符合的只有A，
故選A．
點評：此題考查的是函數圖象與坐標軸交點坐標的求法、函數圖象交點坐標的求法、圖形面積的求法等知識，難度適中．