Question

已知：點P是等邊△ABC內任意一點，它到三邊的距離分別為h₁、h₂、h₃，且滿足h₁+h₂+h₃=6，則S_△ABC=

 

．

Answer 1

分析：根據等邊三角形的面積可以得到三角形的高等于6，然后根據等邊三角形的高、底邊的一半以及一條邊長構成含30°角的直角三角形，然后求出等邊三角形的邊長，再根據面積公式求解即可．

解答：解：如圖，在等邊△ABC中，AB=BC=AC，
過點A作AD⊥BC，垂足為D，
則BD=CD=

1

2

BC=

1

2

AB，
∵S_△ABC=

1

2

AB•h₁+

1

2

BC•h₂+

1

2

AC•h₃=

1

2

BC•AD，
∴AD=h₁+h₂+h₃=6，
在Rt△ABD中，AB²=BD²+AD²，
即AB²=（

1

2

AB）²+6²，
AB=4

3

，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×4

3

×6=12

3

．
故答案為：12

3

．

點評：本題考查了等邊三角形的三條邊都相等的性質，三線合一的性質，勾股定理的運用，求出等邊三角形的高線的長是解題的關鍵．